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湖北文理學院數學專業學術碩士初試考試科目

 

《數學分析》考試大綱

 

考試科目：數學分析科目代碼：601

 

一、考試性質

 

本考試大綱適用于報考湖北文理學院數學專業碩士研究生入學考試的初試。《數學分析》是為招收數學專業碩士研究生而設置的具有選拔功能的水平考試。其目的是科學、公平、有效地測試考生是否具有繼續攻讀碩士學位所具備的分析基礎知識、一般能力和培養潛能。應考人員應根據本大綱的內容和要求，自行組織學習內容和掌握有關知識。

 

二、考試要求

 

要求考生熟悉數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法，具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力和分析運算能力，并能綜合運用所學知識解決各種類型的問題，以便為以后繼續學習和從事科研奠定堅實的分析基礎。

 

三、考試形式與試卷結構

 

1、試卷滿分及考試時間

 

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

 

2、答題方式

 

答題方式為閉卷、筆試。

 

3、試卷題型

 

選擇題、填空題、計算題、證明題、綜合題等。

 

四、考試內容和考試要求

 

（一）極限與連續

 

考試內容：確界、函數；數列極限；函數極限；函數的連續性；實數的完備性。

 

考試要求：理解確界概念、確界原理和函數概念；掌握確界及函數的簡單運算；掌握數列極限和函數極限的概念和基本性質；會用極限的概念驗證數列極限、函數極限；會運用極限四則運算法則、迫斂性（夾逼準則）、單調有界定理、兩個重要極限、等價無窮小等討論極限問題；掌握函數連續性的概念；會判別函數間斷點的類型；理解閉區間上連續函數的性質，會應用這些性質來證明一些簡單問題；掌握函數在某區間上是一致連續或非一致連續的方法，會驗證簡單函數的一致連續性；理解實數集完備性的幾個基本定理和基本定理等價性的證明的方法，會利用實數完備性的基本定理證明有關命題。

 

（二）一元函數微分學

 

考試內容：導數；微分；微分中值定理；微分中值定理的應用。

 

考試要求：熟練掌握導數的概念，了解導數的幾何意義；掌握函數可導性與連續性之間的關系；熟練掌握函數的求導法則，熟記基本初等函數的求導公式；掌握隱函數、由參數方程確定函數的求導方法；會熟練計算各種函數的導數；了解高階導數的概念，能夠計算簡單函數的高階導數；理解微分的概念，掌握導數與微分間的關系；了解函數一階微分形式的不變性，會熟練求函數的微分；熟練掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，會應用中值定理證明不等式等；熟練掌握洛必達法則，會用洛必達法則求不定式極限；理解泰勒定理，了解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式，熟記六個常見函數的麥克勞林公式，會進行簡單的展開；熟練掌握函數單調性、極值和凹凸性的判別方法，會求函數的單調區間、極值和凹凸區間，并能進行簡單的應用；會求函數圖形的拐點和漸近線。

 

（三）一元函數積分學

 

考試內容：不定積分；定積分；定積分的應用；反常積分。

 

考試要求：理解不定積分的概念，掌握原函數與不定積分的概念及其之間的區別；掌握不定積分的線性運算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式；熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法；掌握有理函數的不定積分、三角函數有理式的不定積分、某些無理根式的不定積分；能夠熟練計算不定積分；掌握定積分的概念、幾何意義；熟練掌握和應用牛頓-萊布尼茨公式；掌握定積分的基本性質和積分第一中值定理，會應用其證明一些簡單問題；理解可積函數類及其證明；了解變限積分的概念，會求變限積分的導數；掌握定積分的換元積分法及分部積分法，能夠熟練計算定積分；能夠應用定積分的幾何意義或者利用函數的奇偶性計算定積分；了解定積分的微元法；會利用定積分計算平面圖形的面積（包括參量方程及極坐標方程概念的平面圖形）、平面曲線的弧長（直角坐標系、參數方程、極坐標系）、平行截面面積已知的立體和旋轉體的體積；理解兩類反常積分的收斂與發散；熟練掌握反常積分絕對收斂和條件收斂的判定方法，會判別反常積分的斂散性。

 

（四）多元函數微分學

 

考試內容：二元函數的極限和連續；偏導數、高階偏導數、全微分；隱函數存在定理、隱函數求導法；多元函數微分學的幾何應用（空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線、方向導數和梯度）；多元函數的極值與最值。

 

考試要求：了解多元函數的概念，會求二元函數的概念域；了解二元函數極限的概念，熟悉判別極限存在性的基本方法，會求簡單二元函數的極限，會判斷二元函數極限不存在；理解二元函數連續的概念，會判斷二元函數的連續性；熟練掌握二元函數的偏導數、可微性與全微分的概念；了解可微的必要與充分條件，掌握多元函數連續、偏導存在、可微之間的關系；熟練掌握偏導數及高階偏導數的計算方法，會求多元函數的偏導數、高階偏導數和全微分；熟練掌握二元函數極值和最值的求解，會求函數的極值和最值，并能解決簡單的實際問題；了解隱函數存在唯一性定理和隱函數組定理；熟練掌握求隱函數（組）偏導數及高階偏導數的方法，會求隱函數（組）偏導數及高階偏導數；掌握多元函數微分學的幾何應用（空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線、方向導數與梯度），會求空間曲線的切線與法平面方程、空間曲面的切平面與法線方程、方向導數與梯度。

 

（五）多元函數積分學

 

考試內容：二重積分；三重積分；第一（二）型曲線積分；曲線積分與路徑無關的條件；第一（二）型曲面積分；高斯公式和斯托克斯公式；含參變量正常積分、含參變量反常積分。

 

考試要求：掌握二、三重積分的計算方法，會熟練計算二、三重積分；掌握格林公式以及曲線積分與路徑無關的條件，會用格林公式以及曲線積分與路徑無關的條件計算曲線積分；理解兩類曲線積分的概念；掌握兩類曲線積分的計算方法，會熟練計算兩類曲線積分；理解兩類曲面積分的概念；掌握計算兩類曲面積分的方法，會熟練計算兩類曲面積分；熟練掌握高斯公式，并進行簡單的應用；理解斯托克斯公式；理解含參變量正常積分的概念與性質；掌握含參變量正常積分的導數的計算公式；掌握含參變量反常積分一致收斂的判別方法，會證明含參變量反常積分的一致收斂性。

 

（六）無窮級數

 

考試內容：數項級數；函數項級數；冪級數；傅里葉級數。

 

考試要求：了解數項級數收斂性的概念和基本性質，掌握級數收斂的必要條件；熟練掌握正項級數斂散性的判別法（比較判別法，比值判別法，根植判別法與積分判別法），會準確判斷正項級數的斂散性；掌握交錯級數的萊布尼茨判別法；掌握任意項級數的絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系，會判斷任意項級數的絕對收斂和條件收斂；熟練掌握用概念及判別法判斷函數列、函數項級數的一致收斂性，并會進行驗證；掌握阿貝爾定理，會求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域；了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數；掌握一些基本初等函數的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數；了解傅里葉級數概念和收斂定理；能夠將比較簡單的函數展開為傅里葉級數。

 

五、參考書目

 

《數學分析》（第五版）：華東師范大學數學科學學院編，高等教育出版社，2019年