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碩士研究生招生考試

 

《數(shù)學(xué)分析》科目大綱

 

(科目代碼：620)

 

學(xué)院名稱(蓋章)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

 

學(xué)院負(fù)責(zé)人(簽字)：

 

編制時(shí)間：2022年6月22日

 

《數(shù)學(xué)分析》科目大綱

 

(科目代碼：620)

 

一、考核要求

 

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)分析學(xué)系列課程及數(shù)學(xué)專業(yè)其它后繼課程的重要基礎(chǔ)，也為高觀點(diǎn)下深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所必需。數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容有：極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)及級(jí)數(shù)理論。數(shù)學(xué)分析中的極限思想十分重要，它幾乎貫穿了數(shù)學(xué)分析及其它與分析相關(guān)的自然學(xué)科的始終。數(shù)學(xué)分析課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學(xué)生對(duì)從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，考核學(xué)生是否具有嚴(yán)密的

 

邏輯推理能力，考核學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決某些實(shí)際問題的能力。

 

二、考核評(píng)價(jià)目標(biāo)

 

數(shù)學(xué)分析課程重點(diǎn)考核學(xué)生對(duì)理論基礎(chǔ)知識(shí)掌握的情況及分析解決某些實(shí)際問題的能力。通過考核，選拔出具有較好的數(shù)學(xué)功底的學(xué)生來攻讀數(shù)學(xué)學(xué)科的碩士研究生。考核評(píng)價(jià)目標(biāo)應(yīng)使錄取的研究生具有較扎實(shí)與系統(tǒng)的從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)以及計(jì)算數(shù)學(xué)等的進(jìn)一步學(xué)習(xí)及科研工作所需的數(shù)學(xué)分析知識(shí)。

 

三、考核內(nèi)容

 

第一章極限

 

第一節(jié)實(shí)數(shù)集與函數(shù)

 

考核不等式、集合、映射、函數(shù)、初等函數(shù)、領(lǐng)域、上確界、下確界的定義，會(huì)進(jìn)行集合運(yùn)算和函數(shù)的各種表示，能分析函數(shù)的有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性，熟悉確界原理。

 

第二節(jié)數(shù)列極限

 

考核數(shù)列、數(shù)列極限的定義、無窮小數(shù)列，收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限的四則運(yùn)算，單調(diào)數(shù)列及單調(diào)有界定理，Cauchy列及收斂準(zhǔn)則。

 

第三節(jié)函數(shù)極限

 

考核函數(shù)極限的定義、性質(zhì)、四則運(yùn)算、與數(shù)列極限的關(guān)系，單側(cè)極限、Cauchy收斂原理，兩個(gè)重要極限，無窮小量與無窮大量及關(guān)系。

 

第四節(jié)連續(xù)函數(shù)

 

充分理解并掌握函數(shù)極限的定義、連續(xù)的定義、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系、Cauchy收斂原理、一致連續(xù)的概念；能應(yīng)用函數(shù)極限、連續(xù)以及一致連續(xù)的定義進(jìn)行分析、論證，能用無窮小量對(duì)極限進(jìn)行分析，區(qū)別無窮小量能否進(jìn)行代換的條件，區(qū)分不連續(xù)點(diǎn)的類型。

 

第五節(jié)實(shí)數(shù)基本定理

 

能綜合應(yīng)用確界原理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理進(jìn)行分析論證，應(yīng)用收斂子列定理和Cauchy收斂定理進(jìn)行基本證明。

 

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

 

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)和微分

 

會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義、四則運(yùn)算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)，能綜合應(yīng)用各種方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

 

第二節(jié)微分中值定理及應(yīng)用

 

領(lǐng)會(huì)微分中值定理、Taylor公式的深刻含義，能用微分中值定理進(jìn)行分析、論證，能將函數(shù)展開成Taylor多項(xiàng)式和其余項(xiàng)之和，能綜合使用Hospital法則及Taylor公式求函數(shù)及數(shù)列的極限。能綜合應(yīng)用函數(shù)的凸性、單調(diào)性（利用導(dǎo)數(shù)）及中值定理分析和解決問題。

 

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

 

第一節(jié)積分的計(jì)算、性質(zhì)及應(yīng)用

 

能綜合應(yīng)用各種方法（包括定義、基本公式、線性性質(zhì)、換元積分法、分部積分法），計(jì)算出一般函數(shù)的積分；重點(diǎn)掌握定積分的概念，Darboux和概念等；熟練掌握可積的充要條件，可積函數(shù)類，定積分的性質(zhì)，微積分基本定理，掌握求面積、弧長(zhǎng)、體積和側(cè)面積的方法，了解微元法及其應(yīng)用。

 

第二節(jié)反常積分

 

掌握反常積分?jǐn)可⑿缘亩x，奇點(diǎn)，了解Cauchy主值和反常積分收斂的關(guān)系，掌握一些重要的反常積分收斂和發(fā)散的例子，理解并掌握絕對(duì)收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負(fù)函數(shù)反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數(shù)反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分，熟練應(yīng)用積分第二中值定理。

 

第四章級(jí)數(shù)

 

第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

 

準(zhǔn)確理解斂散性概念、級(jí)數(shù)收斂的必要條件和其它性質(zhì)，熟練地求一些級(jí)數(shù)的和；了解上極限與下極限的概念、性質(zhì)、求上極限與下極限的方法；熟練利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理，比較判別法，比式判別法和根式判別法，積分判別法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性；準(zhǔn)確理解Leibniz級(jí)數(shù)，熟練利用Leibniz級(jí)數(shù)，Abel、Dirichlet判別法判別一般級(jí)數(shù)的斂散性。

 

第二節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)

 

重點(diǎn)理解點(diǎn)態(tài)收斂、一致收斂和內(nèi)閉一致收斂的概念，掌握函數(shù)列一致收斂的判別法；能熟練應(yīng)用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的Cauchy收斂原理，Weierstrass判別法，Abel、Dirichlet判別法，掌握一致收斂級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可積性；重點(diǎn)掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法，可以利用冪級(jí)數(shù)可導(dǎo)和可積性求冪級(jí)數(shù)的和，掌握函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的條件，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。

 

第三節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)

 

熟練掌握函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開；綜合分析Fourier級(jí)數(shù)的斂散性；理解并合理利用Fourier級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)和逼近性質(zhì)；了解Fourier變換的性質(zhì)及其在理論分析和實(shí)際計(jì)算中的應(yīng)用。

 

第五章多元函數(shù)微分學(xué)

 

第一節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)

 

考核R2中的有界集，內(nèi)點(diǎn)，邊界點(diǎn)，孤立點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集和閉集及其關(guān)系，閉包，理解閉矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收斂定理，緊集及其Heine-Borel定理；掌握多元函數(shù)的定義，多元函數(shù)的重極限和二次極限及其關(guān)系，多元函數(shù)的連續(xù)，了解向量值函數(shù)及其極限、連續(xù)等性質(zhì)；了解緊集上的連續(xù)映射概念，緊集上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值定理、一致連續(xù)性定理、中間值定理，掌握連通集和區(qū)域等概念。

 

第二節(jié)多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用

 

重點(diǎn)掌握偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)，全微分，連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，掌握混合偏導(dǎo)數(shù)的相等的條件，向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒捌鋺?yīng)用，掌握一階全微分的形式不變性。

 

第三節(jié)隱函數(shù)定理及應(yīng)用

 

考核隱函數(shù)定理及其應(yīng)用，會(huì)計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握無條件極值與條件極值的求法。

 

第六章多元函數(shù)積分學(xué)

 

第一節(jié)重積分

 

理解重積分與反常重積分的概念；了解二重積分的可積函數(shù)類與性質(zhì)；熟練掌握二重積分、n重積分及反常重積分的算法；掌握二重積分與n重積分的變量代換。

 

第二節(jié)曲線積分和曲面積分

 

綜合分析第一、二類曲線積分與曲面積分的概念與計(jì)算；掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式及其應(yīng)用；掌握梯度的概念，了解通量與散度、向量線、環(huán)量與旋度的概念及簡(jiǎn)單應(yīng)用。

 

第三節(jié)含參變量積分

 

熟練掌握含參變量的正常積分的定義及分析性質(zhì)；熟練掌握含參變量的反常積分的一致收斂的判別法及一致收斂積分的分析性質(zhì)；了解Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的性質(zhì)、遞推公式及二者之間的關(guān)系。

 

參考書目：

 

1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《數(shù)學(xué)分析》（上，下），高等教育出版社，2010年（第四版））。

 

2.陳紀(jì)修，於崇華，金路，《數(shù)學(xué)分析》（上，下），高等教育出版社，2000年（第一版）。

 

3.裴禮文，《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2006年（第二版）。

 

4.劉三陽，于力，李廣民，《數(shù)學(xué)分析選講》，科學(xué)出版社，2007年（第一版）。