碩士研究生招生考試
綜合考試（數學分析、高等代數、解析幾何）科目大綱
(科目代碼：917)
學院名稱(蓋章)：數學與統計學院
學院負責人(簽字)：
編制時間：2022年6月22日
統計學綜合考試（數學分析、高等代數、解析幾何）科目大綱
(科目代碼：917)
本門考試包含三門課程：數學分析、高等代數、解析幾何，總分為100分，每門課程約占總分值的三分之一。
《數學分析》
一、考核要求
數學分析是數學與應用數學專業的專業基礎核心課程，是學生學習分析學系列課程及數學專業其它后繼課程的重要基礎，也為高觀點下深入理解中學數學教學內容所必需。數學分析的主要內容有：極限理論、微分學、積分學及級數理論。數學分析中的極限思想十分重要，它幾乎貫穿了數學分析及其它與分析相關的自然學科的始終。數學分析課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學生對基礎知識的掌握情況，考核學生是否具有嚴密的邏輯推理能力，考核學生應用所學知識解決某些實際問題的能力。
二、考核內容
第一章極限
第一節實數集與函數
考核不等式、集合、映射、函數、初等函數、領域、上確界、下確界的定義，會進行集合運算和函數的各種表示，能分析函數的有界性、奇偶性、單調性和周期性，熟悉確界原理。
第二節數列極限
考核數列、數列極限的定義、無窮小數列，收斂數列的性質，數列極限的四則運算，單調數列及單調有界定理，Cauchy列及收斂準則。
第三節函數極限
考核函數極限的定義、性質、四則運算、與數列極限的關系，單側極限、Cauchy收斂原理，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量及關系。
第四節連續函數
充分理解并掌握函數極限的定義、連續的定義、函數極限與數列極限的關系、Cauchy收斂原理、一致連續的概念；能應用函數極限、連續以及一致連續的定義進行分析、論證，能用無窮小量對極限進行分析，區別無窮小量能否進行代換的條件，區分不連續點的類型。
第五節實數基本定理
能綜合應用確界原理，單調有界定理，區間套定理進行分析論證，應用收斂子列定理和Cauchy收斂定理進行基本證明。
第二章一元函數微分學
第一節導數和微分
會應用導數的定義、四則運算法則、反函數的求導法則和復合函數求導法則求導數和高階導數，能綜合應用各種方法求函數的導數。
第二節微分中值定理及應用
領會微分中值定理、Taylor公式的深刻含義，能用微分中值定理進行分析、論證，能將函數展開成Taylor多項式和其余項之和，能綜合使用Hospital法則及Taylor公式求函數及數列的極限。能綜合應用函數的凸性、單調性（利用導數）及中值定理分析和解決問題。
第三章一元函數積分學
第一節積分的計算、性質及應用
能綜合應用各種方法（包括定義、基本公式、線性性質、換元積分法、分部積分法），計算出一般函數的積分；重點掌握定積分的概念，Darboux和概念等；熟練掌握可積的充要條件，可積函數類，定積分的性質，微積分基本定理，掌握求面積、弧長、體積和側面積的方法，了解微元法及其應用。
第二節反常積分
掌握反常積分斂散性的定義，奇點，了解Cauchy主值和反常積分收斂的關系，掌握一些重要的反常積分收斂和發散的例子，理解并掌握絕對收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負函數反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分，熟練應用積分第二中值定理。
第四章級數
第一節數項級數
準確理解斂散性概念、級數收斂的必要條件和其它性質，熟練地求一些級數的和；了解上極限與下極限的概念、性質、求上極限與下極限的方法；熟練利用正項級數的收斂原理，比較判別法，比式判別法和根式判別法，積分判別法判別正項級數的斂散性；準確理解Leibniz級數，熟練利用Leibniz級數，Abel、Dirichlet判別法判別一般級數的斂散性。
第二節函數項級數與冪級數
重點理解點態收斂、一致收斂和內閉一致收斂的概念，掌握函數列一致收斂的判別法；能熟練應用函數項級數的Cauchy收斂原理，Weierstrass判別法，Abel、Dirichlet判別法，掌握一致收斂級數的連續性、可導性和可積性；重點掌握冪級數收斂半徑的求法，可以利用冪級數可導和可積性求冪級數的和，掌握函數冪級數展開的條件，初等函數的冪級數展開。
第三節傅里葉級數
熟練掌握函數的Fourier級數展開；綜合分析Fourier級數的斂散性；理解并合理利用Fourier級數的分析性質和逼近性質；了解Fourier變換的性質及其在理論分析和實際計算中的應用。
第五章多元函數微分學
第一節多元函數的極限與連續
考核R2中的有界集，內點，邊界點，孤立點，聚點，開集和閉集及其關系，閉包，理解閉矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收斂定理，緊集及其Heine-Borel定理；掌握多元函數的定義，多元函數的重極限和二次極限及其關系，多元函數的連續，了解向量值函數及其極限、連續等性質；了解緊集上的連續映射概念，緊集上連續函數的有界性、最值定理、一致連續性定理、中間值定理，掌握連通集和區域等概念。
第二節多元函數的導數、微分及應用
重點掌握偏導數，方向導數，全微分，連續、可偏導、可微之間的關系，梯度，高階偏導數，掌握混合偏導數的相等的條件，向量值函數的導數；掌握多元復合函數的鏈式法及其應用，掌握一階全微分的形式不變性。
第三節隱函數定理及應用
考核隱函數定理及其應用，會計算隱函數的導數；掌握無條件極值與條件極值的求法。
第六章多元函數積分學
第一節重積分
理解重積分與反常重積分的概念；了解二重積分的可積函數類與性質；熟練掌握二重積分、n重積分及反常重積分的算法；掌握二重積分與n重積分的變量代換。
第二節曲線積分和曲面積分
綜合分析第一、二類曲線積分與曲面積分的概念與計算；掌握Green公式、Gauss公式和Stokes公式及其應用；掌握梯度的概念，了解通量與散度、向量線、環量與旋度的概念及簡單應用。
第三節含參變量積分
熟練掌握含參變量的正常積分的定義及分析性質；熟練掌握含參變量的反常積分的一致收斂的判別法及一致收斂積分的分析性質；了解Beta函數和Gamma函數的性質、遞推公式及二者之間的關系。
參考書目：
1.華東師范大學數學系編，《數學分析》（上，下），高等教育出版社，2010年（第四版））。
2.陳紀修，於崇華，金路，《數學分析》（上，下），高等教育出版社，2000年（第一版）。
3.裴禮文，《數學分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2006年（第二版）。
4.劉三陽，于力，李廣民，《數學分析選講》，科學出版社，2007年（第一版）。
《高等代數》
一、考核要求
高等代數是中學代數的繼續和提高，是數學與應用數學專業的一門重要基礎課，對數學專業后繼課程的學習至關重要，它的思想和方法已經滲透到數學的各個領域。高等代數的全部內容分兩大部分，多項式理論和線性代數理論。其中線性代數理論顯得十分重要，不僅在自然科學的各分支有著重要應用，而且在社會科學領域中也有著廣泛的應用。高等代數課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學生對基礎知識的掌握情況，考核學生是否具有嚴密的邏輯推理能力，考核學生應用所學知識解決某些實際問題的能力。
二、考核內容
第一章基本概念
第一節集合與映射
主要考核單射、滿射、雙射及的概念及可逆映射的基本性質。
第二節數學歸納法
主要考核第一數學歸納法和第二數學歸納法原理。
第三節整數的整除性質
主要考核帶余除法、素數、合數、最大公因數等概念及性質。
第四節數環與數域
主要考核數環、數域這兩個基本概念及二者之間的關系
第二章多項式
第一節一元多項式的定義及運算
考核多項式的加法、減法與乘法運算，給出多項式次數的定義，零次多項式與零多項式。
第二節多項式的整除性
考核帶余除法定理，它是多項式理論的核心內容。
第三節最大公因式
考核最大公因式的概念、求法，特別是輾轉相除法，另外考核多項式互素的概念和判斷互素的充分必要條件。
第四節多項式的分解
考核多項式因式分解的思想。
第五節重因式
考核多項式重因式的概念、有無重因式的充分必要條件。
第六節多項式函數多項式的根
考核多項式的函數的觀點與形式觀點統一的思想。
第七節復數域和實數域上的多項式
考核系數在復數域上和系數在實數域上的多項式的特點，考核復系數多項式只有一次的是不可約的，而實系數多項式只有一次的和某些二次的是不可約的。
第八節有理系數多項式
考核有理系數多項式的概念，指出有理系數多項式在有理數域上的分解與在整數集合上的分解是一回事，給出有理系數多項式根的求法和判別有理根的艾森斯坦因方法。
第三章行列式
第一節線性方程組與行列式
考核2×2線性方程組與二階行列式的關系，3×3線性方程組與三階行列式的關系，n×n線性方程組與n階行列式是什么關系。
第二節排列
考核排列概念及基本性質，其中包括偶排列、奇排列、反序數、n!個排列中奇排列、偶排列各占一半。
第三節n階行列式
考核n階行列式的定義，性質。
第四節子式和代數余子式
考核按行按列展開的計算方法。
第五節克拉默規則
考核克拉默規則，
第四章線性方程組
第一節線性方程組的消元解法
考核線性方程組的高斯消元法、線性方程線的同解變形、線性方程組的消元法與它的增廣矩陣行初等變換的一致性。
第二節矩陣的秩、方程組有解判別定理
考核矩陣的秩、初等變換不改變矩陣的秩、線性方程組有解的充分必要條件是系數矩陣與增廣矩陣的秩相等。
第三節線性方程組的公式解
考核n×n線性方程組的系數行列式為零時，如何用克拉默規則解該方程組，進一步討論一般的n×m(n≠m)線性方程組的公式解法。
第四節結式和判別式
考核二元二次方程組的解法。
第五章矩陣
第一節矩陣的運算
考核矩陣的加法、數與矩陣的乘法、矩陣的乘法。
第二節可逆矩陣、矩陣乘積的行列式
考核n階矩陣的逆矩陣、n階矩陣的行列式、矩陣乘積的行列式與各自行列式的關系、n階方陣可逆時逆矩陣的求法。
第三節矩陣的分塊
考核矩陣的分塊理論，也就是把矩陣中一部分元素看作一個塊（或一個元素）來處理矩陣的有關問題。
第六章向量空間
第一節定義及例子
考核向量空間的定義的理解。
第二節子空間
考核向量空間的子空間、交子空間，和子空間及子空間的判定定理。
第三節向量的線性相關性
考核向量的線性組合、線性相關、線性無關、極大線性無關組、向量組的等價、向量組的秩。
第四節基和維數
考核向量空間的基、維數、向量空間的維數公式、余子空間。
第五節坐標
考核向量由基的表示式、坐標、過渡矩陣、坐標變換公式。
第六節向量空間的同構
考核向量空間之間的映射、向量空間的同構。
第七節齊次線性方程組的解空間
考核矩陣的行空間、列空間、行空間的秩與矩陣的秩、齊次線性方程的解空間、基礎解系、解空間的結構。
第七章線性變換
第一節線性映射
考核兩個向量空間的線性映射、映射的象與核。
第二節線性變換的運算
考核向量空間到自身的線性變換、線性變換的和變換、數乘線性變換、線性變換的乘積、線性變換的逆線性變換。
第三節線性變換的矩陣
考核線性變換在一個基下的矩陣、矩陣確定的線性變換、線性變換的運算與相應的矩陣運算、同一個線性變換在不同基下矩陣的關系。
第四節不變子空間
考核線性變換下子空間的不變性、象不變子空間、核不變子空間、不變子空間與線性變換的對角化。
第五節本征值與本征向量
考核矩陣的特征值、特征向量、線性變換的本征值與本征向量、特征子空間。
第六節可以對角化的矩陣
考核一個線性變換可以對角化的充分必要條件。
第八章歐氏空間
第一節向量的內積
考核實數域上向量空間的內積、歐氏空間、向量的長度、夾角、哥西一許瓦茲不等式。
第二節正交基
考核向量的正交性、正交向量組、正交基、標準正交基、度量矩陣、施密特正交化方法、正交矩陣。
第三節正交變換
考核保持向量長度不變的正交變換、正交矩陣的性質、正交變換的四個等價條件。
第四節對稱變換和對稱矩陣
考核對稱變換、對稱矩陣、對稱變換的對角化問題、實對稱矩陣的特征值問題。
第九章二次型
第一節二次型和對稱矩陣
考核n元二次多項式總可以用一個對稱矩陣來表示，從而通過矩陣的乘法轉化了二次型的表達形式，這樣把一個二次型（既一個多項式的問題）用對稱矩陣及矩陣的合同變換（成對的行、列初等變換）來處理。從而使問題簡單明了。
第二節復數域和實數域上的二次型
考核復系數二次型與實系數二次型的典范形式。
第三節正定二次型
考核了實數域上秩為n的二次型的特征。
第四節主軸問題
考核通過正交變換化二次型為平方和形式的方法。
參考書目：
[1]張禾瑞,郝鈵新.高等代數.北京:高等教育出版社,2007年第5版.
[2]王萼芳,石生明.高等代數.北京:高等教育出版社,2003年第3版.
[3]劉仲奎,楊永保,程輝,陳祥恩,汪小琳.高等代數.北京:高等教育出版社,2003年.
[4]陳祥恩,程輝,喬虎生，劉仲奎.高等代數專題選講.北京:中國科學技術出版社,2013年.
《解析幾何》考試大綱
一、考核要求
解析幾何就是用代數方法研究幾何。掌握解析幾何的思想，基本理論和研究方法，考核培養學生的抽象思維能力、建立數學模型的能力、推理與演算的能力。
二、考核內容
第一章向量與坐標
1·1向量的概念、向量的線性運算、向量的線性關系和向量分解
1·2坐標系與向量的坐標
1·3向量在給定方向上的射影
1·4向量的內積
1·5向量的外積
1·6三向量的混合積
考核要點：向量的概念與運算、坐標與坐標系、用坐標進行向量的運算、向量共線或共面的必要條件。熟練掌握和運用向量的基本知識，解決關于共線、共面、定比分點等仿射性質的問題；解決關于長度、夾角、面積、體積等度量問題。
第二章軌跡與方程
2·1平面曲線的方程
2·2曲面的方程
2·3母線平行于坐標軸的柱面方程
2·4空間曲線的方程
考核要點：建立動點軌跡的方程是解析幾何的基本思想。學生應當深刻理解軌跡與其方程之間的關系，能熟練地掌握建立曲面或曲線的方程的方法以及直角坐標方程和參數方程的相互轉化。
第三章平面與空間直線
3·1平面的方程
3·2平面與點的相關位置
3·3兩平面的相關位置
3·4空間直線的方程
3·5直線與平面的相關位置
3·6空間兩直線的相關位置、
3·7空間直線與點的相關位置
3·8平面束
考核要點：平面與空間直線的各種形式的方程，平面與平面、平面與點、平面與直線、直線與點、直線與直線之間的相關位置。
第四章柱面、錐面、旋轉面與二次曲面
4·1柱面
4·2錐面
4·3旋轉曲面
4·4橢球面
4·5雙曲面
4·6拋物面
4·7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。
考核要點：柱面方程、錐面方程、旋轉面方程的建立方法、齊次方程、繞坐標軸旋轉的旋轉面方程、橢球面、雙曲面、拋物面的方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線族方程。
第五章二次曲面的一般理論
5·1二次曲面與直線的相關位置
5·2二次曲面的漸近方向與中心
5·3二次曲面的切線與切平面
5·4二次曲面的徑面與奇向
5·5二次曲面的主徑面與主方向、特征方程與特征根
5·6二次曲面方程的化簡與分類
5·7應用不變量化簡二次曲面的方程
考核要點：二次曲面的漸近方向與非漸近方向、中心、切線、切平面、奇點、徑面、奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根、二次曲面方程的化簡與分類、直角坐標變換、應用不變量化簡二次曲面的方程。
三、參考書目
[1]呂林根、許子道.解析幾何.北京：高等教育出版社，2001年第3版.
[2]南開大學主編.空間解析幾何.北京：高等教育出版社，2002年.
[3]呂林根、許子道.解析幾何學習輔導書.北京：高等教育出版社，2006年.
[4]劉建成、賀群.空間解析幾何.北京：科學出版社，2018年.
原文標題：西北師范大學數學與統計學院2023年碩士研究生招生考試自命題《統計學綜合考試》科目參考大綱
原文鏈接：https://yjsy.nwnu.edu.cn/2022/0629/c2701a192505/page.htm
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