考試科目代碼：[622]
考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析
一、考試目標(biāo)
（一）考查考生對數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理論、基本方法和基本計(jì)算的理解和掌握程度。
（二）考查考生的基本計(jì)算能力，邏輯推理能力，抽象思維能力，分析和解決實(shí)際問題的綜合能力。
二、試卷結(jié)構(gòu)
（一）考試時間：180分鐘，滿分：150分。
（二）題型結(jié)構(gòu)
1、計(jì)算題：6小題，每小題12分，共72分。
2、討論題：2小題。每小題15分，共30分。
3、證明題：4小題，每小題12分，共48分。
三、答題方式
閉卷筆試。
四、考試內(nèi)容
（一）一元函數(shù)微積分學(xué)部分，38%（57分）
1、分析引論
考試內(nèi)容：
函數(shù)初等特性；基本初等函數(shù)；初等函數(shù)；常見分段函數(shù)；數(shù)列、函數(shù)極限分析定義；左、右極限；無窮小與無窮大定義；無窮小的比較；極限一般性質(zhì)、四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)；極限存在判定準(zhǔn)則；求極限方法；函數(shù)的連續(xù)性；間斷點(diǎn)及分類；函數(shù)一致連續(xù)性及判定法；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)4條性質(zhì)；上(下)確界、上(下)極限、聚點(diǎn)概念；實(shí)數(shù)完備性的7個等價(jià)描述。
考試要求：
[1] 掌握函數(shù)初等特性和基本初等函數(shù)及其圖形。
[2] 理解變量極限及連續(xù)的概念，會判定極限的存在性，會證明數(shù)列的收斂性，掌握求極限的基本方法。
[3] 掌握函數(shù)一致連續(xù)性的論證方法，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用。
[4] 理解上(下)確界和數(shù)列上(下)極限概念，了解實(shí)數(shù)完備性的等價(jià)命題。
2、一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容：
導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義；導(dǎo)數(shù)四則、復(fù)合、反函數(shù)運(yùn)算法則；隱函數(shù)、參量函數(shù)求導(dǎo)方法；微分概念及幾何意義；微分四則運(yùn)算法則；高階導(dǎo)數(shù)；高階微分；求導(dǎo)數(shù)或微分；Fermat引理；Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理；兩種余項(xiàng)形式的Taylor公式；洛必塔法則；函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及判定法；函數(shù)極值點(diǎn)、拐點(diǎn)及判定法；曲線漸近線與作圖。
考試要求：
[1] 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，掌握導(dǎo)數(shù)與微分、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。
[2] 掌握微分中值定理、Taylor公式（兩種余項(xiàng)形式）及其應(yīng)用。掌握不等式證明的微分學(xué)方法。
[3] 會用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的幾何性態(tài)。
3、一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容：
原函數(shù)概念；不定積分及性質(zhì)；定積分概念；可積性判定準(zhǔn)則；可積的充分條件；定積分性質(zhì)；定積分中值定理；變限積分函數(shù)及性質(zhì)；原函數(shù)存在性；微積分學(xué)基本定理；換元積分法；分部積分法；不定積分計(jì)算法；定積分計(jì)算法；定積分在幾何上應(yīng)用。
考試要求：
[1] 理解原函數(shù)、定積分的概念，了解可積性判定準(zhǔn)則。掌
握積分計(jì)算方法。
[2] 掌握定積分的基本性質(zhì)，掌握變限積分求導(dǎo)公式，掌握
微積分學(xué)基本定理及其應(yīng)用。
[3] 會用微元法解決實(shí)際問題。
（二）多元函數(shù)微積分學(xué)部分，32%（48分）
1、多元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容：
多元函數(shù)概念；重極限與累次極限；重極限存在性判定與求法；多元函數(shù)連續(xù)性及性質(zhì)；偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)與全微分概念；一階全微分形式不變性；高階偏導(dǎo)數(shù)；二元函數(shù)微分中值定理；偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算法；鏈鎖法則；隱函數(shù)(組)存在性及求導(dǎo)法；偏導(dǎo)數(shù)在幾何上應(yīng)用；多元函數(shù)極值及判定法；條件極值與Lagrang乘數(shù)法；多元函數(shù)最大(小)值的確定。
考試要求：
[1] 會判定重極限的存在性，理解多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)的概念及相互聯(lián)系。
[2] 掌握偏導(dǎo)數(shù)（高階偏導(dǎo)數(shù)）的計(jì)算方法，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，掌握微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用，
[3] 掌握多元函數(shù)極值的判定法，會用Lagrang乘數(shù)法解決實(shí)際問題。
2、多元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容：
二、三重積分概念與性質(zhì)；重積分累次積分法、極坐標(biāo)法、截面積分法、柱面坐標(biāo)法、球面坐標(biāo)法、一般變量替換法；兩類曲線積分概念、性質(zhì)及聯(lián)系；兩類曲線積分計(jì)算法；Green公式；兩類曲面積分概念、性質(zhì)及聯(lián)系；兩類曲面積分計(jì)算法；奧高公式；Stokes公式；平面曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)命題；各類積分在幾何上的應(yīng)用；場論初步(梯度場、散度場、旋度場)。
考試要求：
[1] 理解重積分、曲線積分、曲面積分的概念及其幾何或物理意義，掌握它們的基本性質(zhì)。
[2] 掌握二重、三重積分的基本計(jì)算方法，掌握兩類曲線積分、曲面積分的相互聯(lián)系和計(jì)算方法。
[3] 掌握Green公式、奧高公式及其應(yīng)用，掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)命題，了解Stokes公式及場論。
（三）無窮級數(shù)論與反常積分部分，30%（45分）
1、無窮級數(shù)論
考試內(nèi)容：
常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性及性質(zhì)；正項(xiàng)級數(shù)審斂法；任意項(xiàng)級數(shù)審斂法；絕對收斂與條件收斂；函數(shù)項(xiàng)級數(shù)相關(guān)概念；函數(shù)列(級數(shù))一致收斂性及判別法；函數(shù)列(級數(shù))的分析運(yùn)算性質(zhì)；冪級數(shù)收斂半徑；Abel第一、第二定理；冪級數(shù)分析性質(zhì)；5個重要Maclaurin展開式；Riemann引理；Fourier級數(shù)的收斂性定理；Fourier變換；函數(shù)展開成冪級數(shù)；函數(shù)展開成Fourier級數(shù)或正弦、余弦級數(shù)；級數(shù)求和問題。
考試要求：
[1] 理解絕對收斂和條件收斂概念，掌握正項(xiàng)級數(shù)和任意項(xiàng)級數(shù)的各種審斂法。
[2] 理解函數(shù)列(函數(shù)項(xiàng)級數(shù))一致收斂性概念，掌握一致收斂判別法，掌握函數(shù)列(函數(shù)項(xiàng)級數(shù))的分析性質(zhì)。
[3] 會將函數(shù)展開成冪級數(shù)或Fourier級數(shù)，掌握冪級數(shù)的求和方法。
2、反常積分與含參變量積分
考試內(nèi)容：
兩類反常積分?jǐn)可⑿约靶再|(zhì)；反常積分審斂法；絕對收斂與條件收斂；兩類反常積分的聯(lián)系；含參變量積分(反常積分)函數(shù)的概念；含參量積分函數(shù)的分析性質(zhì)；含參量變限積分函數(shù)的求導(dǎo)法則；含參變量反常積分一致收斂性及判別法；含參量反常積分函數(shù)分析運(yùn)算性質(zhì)；反常積分（含參變量積分）計(jì)算法。
考試要求：
[1] 理解兩類反常積分?jǐn)可⑿缘母拍钆c性質(zhì)，掌握反常積分的各種審斂法，會計(jì)算簡單的反常積分。
[2] 理解含參變量積分(反常積分)函數(shù)的概念及分析性質(zhì)，掌握含參變量反常積分一致收斂判別法。
五、主要參考書目
（一）歐陽光中等編，《數(shù)學(xué)分析》（第四版），北京：高等教育出版社，2018年。（或歐陽光中等編，《數(shù)學(xué)分析》（第三版），北京：高等教育出版社，2007年。）
（二）劉玉璉等編，《數(shù)學(xué)分析講義》（第五版），北京：高等教育出版社，2011年。
（三）華東師大編，《數(shù)學(xué)分析》（第五版），北京：高等教育出版社，2019年。
原文標(biāo)題：集美大學(xué)2022年碩士研究生入學(xué)考試初試自命題考試大綱
原文鏈接：http://zsb.jmu.edu.cn/info/1422/3954.htm
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