不等式證明是考研數(shù)學證明題專項中一個很重要同時也是考查頻率較高的一個知識點，同時也是考生在復習過程中一個相對不好下手、不好梳理方法的知識點；但是對于該板塊部分整體上只要掌握相應的解題方法和技巧，攻克不等式的證明自然不在話下。下面介紹考試過程中常見的證明方法，希望幫助大家掌握、鞏固不等式證明，在考試中取得不錯的成績。
通過對往年不等式證明考試題目的研究，中出現(xiàn)頻率最高的一個題型為:證明f(x)> g(x)，x∈(a.b)。 針對這一類題目的解題思路:要證明f(x)> g(x), x∈(a,b) ,首先構造輔助函數(shù)F(x)= f(x)- g(x),x∈[a,b]，要證f(x)> g(x)，即證F(x)> 0,通常大家可以想到的方法就是先求導，判斷函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性判斷函數(shù)的最大、最小值，但是在實際操作的過程中會發(fā)現(xiàn)以上做法會存在-定得難度;而通過對往年試題的研究發(fā)現(xiàn)，實際考查的過程中，都會出現(xiàn)兩種比較特殊的情況F(a)或F(b)會有一個等于零。不妨設F(a)=0,此時只需證明F(x)在[a,b]上單調遞增，即F"(x)>0，x∈(a,b);同理，若F(b)=0, 此時只需說明F(x)在[a.b]上單調遞減，即F"(x)<0，x∈(a.b)。 當然到這里大家也或有一定的疑問，萬-兩個端點值F(a)或F(b)均為0或均不為0呢?針對這兩種情況，若F(a)=0，F(xiàn)(b)=0， 證明.
函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)即可;而若F(a)≠0且F(b)≠0,則在(a,b)的開區(qū)間內至少存在-點c，使得F(c)=0,則此時只需要證明函數(shù)在(a.c)和(c, b)兩個區(qū)間上的單調性即可。最后，關于函數(shù)不等式的證明具體思路總結如下:
對于f(x)> g(x). x∈(a.b)構造輔助函數(shù)，令F(x)= f(x)-g(x).x∈(a.b)，然后計算F(a)及F(b);
若F(a)=0,只需證明F"(x)>0;
若F(b)=0,只需證明F'(x)<0;
若F(a)=0，F(xiàn)(b)=0, 證明函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)即可。
相信大家通過對.上述方法的學習，對于不等式證明這-部分的內容也有 了新的認識，有了更加高效的解題方法。
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